Question

已知點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到A，B，D的距離分別為，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

解：將△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′B，則P′A=1，P′B=，
則△APP′是等腰直角三角形，PP′=，∠AP′P=45°，
∵PP′²+P′B²=+=4，PB²=4，
∴PP′²+P′B²=PB²，
∴△PP′B是等腰直角三角形，
∴∠PP′B=90°，
過A作AN⊥BP′于N，
則∠AP′N=180°-90°-45°=45°，
即△ANP′是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AN=NP′=，
由勾股定理得：AB²=AN²+BN²，
=+，
=5，
∴正方形ABCD的面積是5．
分析：將△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′B，過A作AN⊥BP′于N，得出等腰直角三角形APP′，求出PP′，求出直角三角形BPP′，求出等腰直角三角形ANP′，求出AN，根據(jù)勾股定理求出AB的值，即可求出正方形的面積．
點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線，本題具有一定的代表性，有一定的難度，對學(xué)生提出較高的要求．