Question

3．在銳角三角形ABC中，BC=5$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是5．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC，則CE即為CM+MN的最小值，再根據(jù)BC=4，∠ABC=45°，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長．

解答 解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)M′作M′N′⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴M′E=M′N′，
∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，則CE即為CM+MN的最小值，
∵BC=5$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
∴CE=BC•sin45°=5$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=5．
∴CM+MN的最小值是5．
故答案是：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．