Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），P是第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PO，PA，若∠POA=m°，∠PAO=n°，則我們把（m°，n°）叫做點(diǎn)P 的“雙角坐標(biāo)”．例如，點(diǎn)（1，1）的“雙角坐標(biāo)”為（45°，90°）．
（1）點(diǎn)（ ， ）的“雙角坐標(biāo)”為；
（2）若點(diǎn)P到x軸的距離為 ，則m+n的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）（60°，60°）
（2）90
【解析】解：（1）∵P（ ， ），OA=1， ∴tan∠POA= = ，tan∠PAO= = ，
∴∠POA=60°，∠PAO=60°，
即點(diǎn)P的“雙角坐標(biāo)”為（60°，60°），
故答案為：（60°，60°）；
⑵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，如圖，

∵點(diǎn)P到x軸的距離為 ，OA=1，
∴OA中點(diǎn)為圓心， 為半徑畫圓，與直線y= 相切于點(diǎn)P，
在直線y= 上任取一點(diǎn)P′，連接P′O、P′A，P′O交圓于點(diǎn)Q，
∵∠OPA=∠1＞∠OP′A，
此時∠OPA最大，∠OPA=90°，
∴m+n的最小值為90，
故答案為：90．
（1）分別求出tan∠POA、tan∠PAO即可得∠POA、∠PAO的度數(shù)，從而得出答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知若要使m+n取得最小值，即∠POA+∠PAO取得最小值，則∠OPA需取得最大值，OA中點(diǎn)為圓心， 為半徑畫圓，與直線y= 相切于點(diǎn)P，由∠OPA=∠1＞∠OP′A知此時∠OPA最大，∠OPA=90°，即可得出答案．