Question

【題目】已知，如圖，a，b，c分別是ΔABC中∠A，∠B，∠C的對邊，P為BC上一點，以AP為直徑的圓O交AB于D，PE∥AB交AC于E，b，c是方程x2+kx+9=0的兩根，且（b2+c2）（b2+c2－14）－72=0，銳角B的正弦值等于。

（1）求K的值；

（2）設BD=x，求四邊形ADPE的面積為S關于x的函數(shù)關系式；

（3）問圓O是否能與BC相切？若能請求出x的值；若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）k=-6 （2）（3）能， .

【解析】試題分析：（1）求出b2+c2=18，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出b+c=-k，bc=9，代入得出方程（-k）2-2×9=18，求出即可；
（2）求出方程的解，得出AB=AC=3，根據(jù)sinB==，設PD=2y，PD=3y，在Rt△BDP中，由勾股定理求出y=x，得出PD=2x，PB=3x，求出BC，根據(jù)△CPE∽△CBA，得出比例式求出PE，代入S=（PE+AD）×PD求出即可；（3）根據(jù)圓的切線的性質，當∠APB=90°時，圓O能與BC相切，根據(jù)等腰三角形性質得出BD=DC=，根據(jù)PB=3x=求出即可．

試題解析：(1)∵(b2+c2)(b2+c214)72=0，

∴(b2+c2)214(b2+c2)72=0，

解得：b2+c2=18,b2+c2=4(舍去)，

∵b,c是方程x2+kx+9=0的兩根，

∴b+c=k，bc=9，

∴b2+c2=(b+c)22bc=18，

即(k)22×9=18，

解得：k=6，k=6，

∵b+c=k，c、b是三角形的邊長，

∴k=6舍去，

即k=6；

(2)把k=6代入方程得：x26x+9=0，

解得：x1=x2=3，

即b=c=3，

AB=AC=3，

∵AP是直徑，

∴∠ADP=90=∠BDP，

∵sinB=，

∴=，

設PD=y,BD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理得：PD2+BD2=PB2，

即(y)2+x2=(3y)2，

解得：y=x，

PD=x,PB=3x,

過A作AN⊥BC于N，

∵AB=3,sinB=，

∴AN=，

由勾股定理得：BN=1，

∵AB=AC，AN⊥BC，

∴CN=BN=1，

BC=2，

∵PE∥AB，

∴△CPE∽△CBA，

∴，

∴，

∴PE=x+3，

∴四邊形ADPE的面積S= (PE+AD)×PD=×(x+3+3x)×x=x2+x，

答：四邊形ADPE的面積為S關于x的函數(shù)關系式是S=x2+x.

(3)圓O能與BC相切，

理由是：根據(jù)圓的切線的性質,當∠APB=90時，圓O能與BC相切，

∵AP是直徑，

∴∠ADP=90，

∵AC=AB=3，BC=2，

∴BD=DC=1，

由(2)知：PB=3x=1，

x=，

答：圓O能與BC相切,x的值是.