Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45°的三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，E為直角頂點(diǎn)，連接EC、BE．
（1）求證：BE=CE；
（2）延長(zhǎng)CE、BA交于F，設(shè)BE與AC相交于點(diǎn)O，則OE與EF的關(guān)系應(yīng)為OE=OF；
（3）在（2）的條件下，已知AF=2，AO=1，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明BE=EC，只要證明△EAB≌△EDC即可．
（2）欲證明BE=EC，只要證明△BEF≌△CEO即可．
（3）設(shè)AB=x，根據(jù)AC=2AB列出方程即可解決．

解答 （1）證明：在圖1中，∵EA=ED，∠AED=90°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠EDC=180°-∠EDA=135°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵AC=2AB，DA=DC，
∴AB=DC，
在△EAB和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=ED}\\{∠EAB=∠EDC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△EDC，
∴BE=EC．
（2）在圖2中，由（1）可知△EAB≌△EDC，
∴BE=EC，∠ABE=∠ECD，
在△BEF和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBE=∠ECO}\\{BE=EC}\\{∠BEF=∠CEO}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEO，
∴EF=OE．
故答案為EF=OE．
（3）由（2）可知△BEF≌△CEO，設(shè)AB=x，
∵AF=2，AO=1，
∴BF=CO=AB+AF=x+2，AC=AO+OC=1+x+2=x+3，
∵AC=2AB，
∴x+3=2x
∴x=3，
∴AB=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．