Question

（2013•本溪）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，一個(gè)足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，一邊OE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，另一邊OD與AC交于點(diǎn)M．
（1）如圖1，當(dāng)∠A=30°時(shí)，求證：MC²=AM²+BC²；
（2）如圖2，當(dāng)∠A≠30°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
（3）將三角形ODE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，若直線OD與直線AC相交于點(diǎn)M，直線OE與直線BC相交于點(diǎn)N，連接MN，則MN²=AM²+BN²成立嗎？
答：

成立

（填“成立”或“不成立”）

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，根據(jù)相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，根據(jù)相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）結(jié)論依然成立．

解答：（1）證明：如圖1，過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴

AF

BC

=

FO

OC

=

AO

OB

，
∵O為AB中點(diǎn)，
∴OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分線，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²；

（2）解：還成立，
理由是：如圖2，
過(guò)A作AF⊥AC交CO延長(zhǎng)線于F，連接MF，
∵∠ACB=90°，
∴BC∥AF，
∴△BOC∽△AOF，
∴

AF

BC

=

FO

OC

=

AO

OB

，
∵OA=OB，
∴AF=BC，CO=OF，
∵∠MOC=90°，
∴OM是CF的垂直平分線，
∴CM=MF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF²=AM²+AF²=AM²+BC²，
即MC²=AM²+BC²；

（3）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)和定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，證明過(guò)程類似．