Question

如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與反比例函數在第一象限的圖象交于點B．如果將直線AB繞點A順時針旋轉15°得到直線l，直線l與y軸交于點C．若點B的橫坐標為1，求反比例函數和直線l的解析式．

Answer 1

解：因為點B的橫坐標為1，且B點在直線y=x+3上，
則B（1，4）
又因B（1，4）在反比例函數上，
故．所以k=4．
所以反比例函數的解析式為．
過B點作BD⊥x軸于D．
因直線y=x+3交x軸于點A，則A（-3，0），OA=3．
所以AD=BD=4，
所以∠BAD=45°．
因直線l是y=x+3繞點A順時針旋轉15°得到的，
則∠CAO=30°．
所以在Rt△ACO中．
故．
設直線l為y=k₁x+b（k≠0）．
因∴
所以直線l的解析式為．
分析：首先由點B的橫坐標為1且B點在直線y=x+3上可以求出B的坐標，然后利用待定系數法可以確定反比例函數的解析式，過B點作BD⊥x軸于D．由直線y=x+3交x軸于點A可以求出A的坐標為（-3，0），然后得到OA=3，接著得到AD=BD=4，所以∠BAC=45°，而直線l是y=x+3繞點A順時針旋轉15°得到的，則∠CAO=30°．所以在Rt△ACO中利用三角函數可以求出CO，接著得到C的坐標，最后利用待定系數法即可解決問題．
點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題時首先利用待定系數法確定函數的解析式，然后利用旋轉的旋轉和三角函數的定義即解決問題．