Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，點O在AB上，BC＝CD，過點C作⊙O的切線，分別交AB，AD的延長線于點E，F．

（1）求證：AF⊥EF；

（2）若cos∠DAB＝，BE＝1，則線段AD的長是_____．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）如圖（見解析），連接OC，先根據(jù)圓周角定理得出∠1＝∠2，再根據(jù)等腰三角形的性質得出∠2＝∠OCA，從而可得∠1＝∠OCA，然后根據(jù)平行線的判定可得OC∥AF，最后根據(jù)圓的切線的性質得OC⊥EF，從而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在中，設OC＝r，利用余弦的定義得到＝，解得r＝3，如圖（見解析），連接BD，根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)余弦的定義即可計算出AD的長．

（1）如圖，連接OC

∵CD＝BC

∴＝

∴∠1＝∠2

∵OA＝OC

∴∠2＝∠OCA

∴∠1＝∠OCA

∴OC∥AF

∵EF為切線

∴OC⊥EF

∴AF⊥EF；

（2）∵OC∥AF

∴∠COE＝∠DAB

設OC＝r

在中，，即＝

解得r＝3

如圖，連接BD

∵AB為直徑

∴

在中，，即

解得

故答案為：．