已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,

∠ABC=∠CEF=90°,連接AF,M是AF的中點(diǎn),連接MB、ME.

(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí),求證:MB∥CF;

(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長(zhǎng);

(3)如圖2,當(dāng)∠BCE=45°時(shí),求證:BM=ME.


解答:(1)證法一:

如答圖1a,延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,

∴AB=BC=BD,

∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn),

又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn),

∴BM為△ADF的中位線,

∴BM∥CF.………………………(3分)

證法二:

如答圖1b,延長(zhǎng)BM交EF于D,

∵∠ABC=∠CEF=90°,

∴AB⊥CE,EF⊥CE,

∴AB∥EF,

∴∠BAM=∠DFM,

∵M(jìn)是AF的中點(diǎn),

∴AM=MF,

∵在△ABM和△FDM中,

,

∴△ABM≌△FDM(ASA),

∴AB=DF,

∵BE=CE﹣BC,DE=EF﹣DF,

∴BE=DE,

∴△BDE是等腰直角三角形,

∴∠EBM=45°,

∵在等腰直角△CEF中,∠ECF=45°,

∴∠EBM=∠ECF,

∴MB∥CF;………………………(3分)

(2)如答圖2a所示,延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D,則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形,

∴AB=BC=BD=a,AC=AD=a,

∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),

∴BM=DF.

分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,

∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=a,

∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),

∴ME=AG.

∵CG=CF=a,CA=CD=a,

∴AG=DF=a,

∴BM=ME=×a=a.………………………(7分)

(3)證法一:

如答圖3a,延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形,

∴AB=BC=BD,AC=CD,

∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),∴BM=DF.

延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG,則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形,

∴CE=EF=EG,CF=CG,

∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn),又點(diǎn)M為AF中點(diǎn),∴ME=AG.

在△ACG與△DCF中,

,

∴△ACG≌△DCF(SAS),

∴DF=AG,

∴BM=ME.………………………(12分)

證法二:

如答圖3b,延長(zhǎng)BM交CF于D,連接BE、DE,

∵∠BCE=45°,

∴∠ACD=45°×2+45°=135°

∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°,

∴AB∥CF,

∴∠BAM=∠DFM,

∴M是AF的中點(diǎn),

∴AM=FM,

在△ABM和△FDM中,,

∴△ABM≌△FDM(ASA),

∴AB=DF,BM=DM,

∴AB=BC=DF,

∵在△BCE和△DFE中,

∴△BCE≌△DFE(SAS),

∴BE=DE,∠BEC=∠DEF,

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°,

∴△BDE是等腰直角三角形,

又∵BM=DM,

∴BM=ME=BD,

故BM=ME.

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