Question

一座拱型橋，橋下水面寬度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，則水面寬度EF是多少？
（1）若把它看作是拋物線的一部分，在坐標(biāo)系中（如圖1）可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax²+c．請(qǐng)你填空：
a=

 

，c=

 

，EF=

 

米．
（2）若把它看作是圓的一部分，則可構(gòu)造圖形（如圖2）計(jì)算如下：
設(shè)圓的半徑是r米，在Rt△OCB中，易知r²=（r-4）²+10²，r=14.5
同理，當(dāng)水面上升3米至EF，在Rt△OGF中可計(jì)算出GF=

 

，即水面寬度EF=

 

米．
（3）請(qǐng)估計(jì)（2）中EF與（1）中你計(jì)算出的EF的差的近似值（誤差小于0.1米）．

Answer 1

分析：求a、c的值可以利用待定系數(shù)法，求出A，D的坐標(biāo)就可以．計(jì)算EF的差的近似值，可以利用函數(shù)解析式求出準(zhǔn)確值，然后利用垂徑定理求出近似值，兩者求差．

解答：解：（1）AB是20米，則AC=10米，拱高CD是4米．則A，D的坐標(biāo)分別是（-10，0），（0，4）
把這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得到：

100a+c=0 c=4

解得：a=-

1

25

，c=4，
則解析式是y=-

1

25

x²+4．
把y=3代入解析式解得x=±5，則EF=10米．

（2）在Rt△OGF中，由題可知，OF=14.5，OG=14.5-1=13.5，
根據(jù)勾股定理知：GF²=OF²-OG²，
即GF²=14.5²-13.5²=28，
所以GF=2

7

，此時(shí)水面寬度EF=4

7

米．

（3）誤差估計(jì)如下：
解法一：∵2.6＜

7

＜2.7，

7

≈2.65，4

7

≈10.6
∴4

7

-10≈0.6．（8分）
∴差的近似值約為0.6米．（9分）
解法二：∵4

7

=

112

在10到11之間，
∴可得10.5＜4

7

=

112

＜10.6，
∴0.5＜4

7

-10＜0.6，（8分）
∴差的近似值約為0.5或0.6米．（9分）

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的解析式，常用的方法是待定系數(shù)法，涉及圓中求半徑的問(wèn)題，此類在圓中涉及弦長(zhǎng)、半徑、圓心角的計(jì)算的問(wèn)題，常把半弦長(zhǎng)，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過(guò)直角三角形求解．