Question

如圖，拋物線y=x²-2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A，過P（1，-m）作PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B．點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C．
（1）若m=2，求點A和點C的坐標；
（2）令m＞1，連接CA，若△ACP為直角三角形，求m的值；
（3）在坐標軸上是否存在點E，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0即可求得A點坐標，令x=1求得B點，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)即可求得C點的坐標．
（2）分別求出PA、PC、AC的平方，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求得m的值，
（3）先求出PC的斜率，根據(jù)互為垂直的兩直線的斜率互為負倒數(shù)求出直線PE的斜率，然后求出解析式，分別求出與x軸的交點和與y軸的交點，從而求出PE的長，然后判斷PE²是否等于PC²即可．

解答：解：（1）若m=2，拋物線y=x²-2mx=x²-4x，
∴對稱軸x=2，
令y=0，則x²-4x=0，
解得x=0，x=4，
∴A（4，0），
∵P（1，-2），令x=1，則y=-3，
∴B（1，-3），
∴C（3，-3）．

（2）∵拋物線y=x²-2mx（m＞1），
∴A（2m，0）對稱軸x=m，
∵P（1，-m）
把x=1代入拋物線y=x²-2mx，則y=1-2m，
∴B（1，1-2m），
∴C（2m-1，1-2m），
∵PA²=（-m）²+（2m-1）²=5m²-4m+1，
PC²=（2m-2）²+（1-m）²=5m²-10m+5，
AC²=1+（1-2m）²=2-4m+4m²，
∵△ACP為直角三角形，
∴當(dāng)∠ACP=90°時，PA²=PC²+AC²，
即5m²-4m+1=5m²-10m+5+2-4m+4m²，整理得：4m²-10m+6=0，
解得：m=

3

2

，m=1（舍去），
當(dāng)∠APC=90°時，PA²+PC²=AC²，
即5m²-4m+1+5m²-10m+5=2-4m+4m²，整理得：6m²-10m+4=0，
解得：m=

2

3

，m=1，

2

3

和1都不符合m＞1，
故m=

3

2

．

（3）設(shè)點F（x，y）是直線PE上任意一點，過點F作FN⊥PM于N，
∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，
∴Rt△FNP∽Rt△PBC，
∴NP：NF=BC：BP，即

y+m

x-1

=

2

1

，
∴y=2x-2-m，
∴直線PE的解析式為y=2x-2-m．
令y=0，則x=1+

1

2

m，
∴E（1+

1

2

m，0），
∴PE²=（-m）²+（

1

2

m）²=

5m2

4

，
∴

5m2

4

=5m²-10m+5，解得：m=2，m=

2

3

，
∴E（2，0）或E（

4

3

，0），
∴在x軸上存在E點，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，此時E（2，0）或E（

4

3

，0）；
令x=0，則y=-2-m，
∴E（0，-2-m）
∴PE²=（-2）²+1²=5
∴5m²-10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），
∴E（0，-4）
∴y軸上存在點E，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，此時E（0，-4），
∴在坐標軸上是存在點E，使得△PEC是以P為直角頂點的等腰直角三角形，E點的坐標為（2，0）或（

4

3

，0）或（0，-4）；

點評：本題考查了二次函數(shù)的交點的求法，以及直角三角形的判定，等腰直角三角形的判定，勾股定理的應(yīng)用等．