Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面中，O為原點(diǎn)，A（0，6），B（8，0）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AO方向運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動．
P、Q兩動點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動時(shí)間為t（t＞0）秒．
（1）在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動過程中，若△POQ與△AOB相似，求t的值；
（2）如圖（2），當(dāng)直線PQ與線段AB交于點(diǎn)M，且時(shí)，求直線PQ的解析式；
（3）以點(diǎn)O為圓心，OP長為半徑畫⊙O，以點(diǎn)B為圓心，BQ長為半徑畫⊙B，討論⊙O和⊙B的位置關(guān)系，并直接寫出相應(yīng)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，t秒時(shí)，AP=2t，BQ=t，OP=|6-2t|，OQ=8+t．
分兩種情況：
①若△POQ∽△AOB，則當(dāng)OP與OA是對應(yīng)邊時(shí)，
=，即=，
所以，8（6-2t）=6（8+t）或8（2t-6）=6（8+t），
整理得，解得t=0（舍去），t=；
②若△POQ∽△BOA，則當(dāng)OP與OB是對應(yīng)邊時(shí)，
=，即=，
所以，6（6-2t）=8（8+t）或6（2t-6）=8（8+t），
整理得，t=-（舍去），t=25，
所以，當(dāng)t=或25時(shí)，△POQ∽△AOB；

（2）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G．
∵PO∥MN，∴=，
∵=，∴=，
∴=，
∵OA=6，∴MN=1，
同理MG=OB，
∵OB=8，∴MG=，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，1），
∵OQ=8+t，
∴NQ=8+t-=+t，
在Rt△MNQ中，tan∠MQN==，
在Rt△OPQ中，tan∠PQO==，
∴=，
整理得，6t²-7t=0，
解得t=，t=0（舍去），
OP=6-2×=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（0，）．
設(shè)PQ直線解析式為y=kx+b，
則，解得，
∴PQ直線解析式：y=-x+；

（3）|6-2t|+t=8時(shí)，6-2t+t=8或2t-6+t=8，
解得t=-2（舍去），t=，
|6-2t|-t=8時(shí)，6-2t-t=8或2t-6-t=8，
解得t=-（舍去），t=14，
又當(dāng)t=3時(shí)，OP=0，⊙O不存在，
所以，①當(dāng)0＜t＜且t≠3時(shí)，兩圓外離；
②當(dāng)t=時(shí)，兩圓外切；
③當(dāng)＜t＜14時(shí)，兩圓相交；
④當(dāng)t=14時(shí)，兩圓內(nèi)切；
⑤當(dāng)t＞14時(shí)，兩圓內(nèi)含．
分析：（1）分別表示出OP，OQ的長度，再分OP與OA，OP與OB是對應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）過點(diǎn)M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G，然后平行線分線段成比例定理列式求出MN、MG的長度，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后在Rt△MQN中與Rt△PQO中，利用同一個角∠MQN與∠PQO的正切值相等列出方程求解得到t的值，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線函數(shù)解析式解答；
（3）表示出OP、BQ的長度，然后根據(jù)實(shí)際意義求出兩圓外切與內(nèi)切時(shí)t的值，再寫出兩圓外離、相交、內(nèi)含時(shí)的t的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例，平行線分線段成比例定理，以及圓的位置關(guān)系，（3）中要注意先求出外切與內(nèi)切時(shí)的兩個臨界值．