Question

6．已知關于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k為常數(shù)）．
相關鏈接：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設x₁，x₂為方程的兩個實數(shù)根，且x₁+2x₂=14，試求出方程的兩個實數(shù)根和k的值．

Answer 1

分析 （1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，只要證明判別式△=b²-4ac的值大于0即可；
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以得到兩根的和是6，結合x₁+2x₂=14即可求得方程的兩個實根，進而可求k的值．

解答 （1）證明：∵b²-4ac=（-6）²-4×1×（-k²）=36+4k²＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．

（2）解：∵x₁+x₂=6，
又∵x₁+2x₂=14，
∴6+x₂=14，
∴x₂=8，x₁=-2．
將x₁=-2代入原方程得：（-2）²-6×（-2）-k²=0，
解得k=±4．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系得出x₁+x₂=6，代入x₁+2x₂=14求出x₂=8是解題的關鍵．