Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，△CDE的頂點C點坐標為C（1，-2），點D的橫坐標為$\frac{19}{5}$，將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到△CBO，點D的對應(yīng)點B在x軸上．拋物線y=ax²+bx+c以點C為頂點，且經(jīng)過點B，它與x軸的另一個交點為點A．
（1）圖中，∠OCE=∠BCD；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點P，使S_△PAE=$\frac{1}{2}$S_△CDE？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得∠OCE=∠BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CO=CE，CB=CD，OB=DE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得OH=HE=1，則E點坐標為（2，0），設(shè)B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），利用兩點間的距離公式得CD²=（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²，CB²=（1-m）²+2²，DE²=（2-$\frac{19}{5}$）²+n²，所以（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²=（1-m）²+2²，（2-$\frac{19}{5}$）²+n²=m²，解關(guān)于m、n的方程組得到m=3，n=-$\frac{12}{5}$，則B（3，0），然后設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x-1）²-2，再把B點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（3）先利用拋物線的對稱性得到A（-1，0），再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△CDE≌△CBO，則S_△CDE=S_△CBO=3，設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$），利用三角形面積公式得到$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，則$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=-1，然后分別解關(guān)于t的一元二次方程求出t，從而可得到滿足條件的P點坐標．

解答 解：（1）∵△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到△CBO，
∴∠OCE=∠BCD；
故答案為BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如圖，
∵△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到△CBO，
∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，
∴OH=HE=1，
∴OE=2，
∴E點坐標為（2，0），
設(shè)B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），
∵CD²=（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²，CB²=（1-m）²+2²，DE²=（2-$\frac{19}{5}$）²+n²，
∴（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²=（1-m）²+2²，（2-$\frac{19}{5}$）²+n²=m²，
∴m=3，n=-$\frac{12}{5}$，
∴B（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，
把B（3，0）代入得4a-2=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
A與點B關(guān)于直線x=1對稱，
∴A（-1，0），
∵△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到△CBO，
∴△CDE≌△CBO，
∴S_△CDE=S_△CBO=$\frac{1}{2}$•2•3=3，
設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$），
∵S_△PAE=$\frac{1}{2}$S_△CDE，
∴$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，
∴$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=-1，
解方程$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=1得t₁=1+$\sqrt{6}$，t₂=1-$\sqrt{6}$，此時P點坐標為（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）；
解方程$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=-1得t₁=1+$\sqrt{2}$，t₂=1-$\sqrt{2}$，此時P點坐標為（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，-1）；
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）或（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，-1）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式．