Question

已知，如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE切⊙O于C，AE⊥CE，交⊙O于D．
（1）求證：DC=BC；
（2）若DC：AB=3：5，求sin∠CAD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CE，而AE⊥CE，則OC∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1=∠3，而∠1=∠2，則∠2=∠3，根據(jù)圓周角定理得

CD

=

BC

，即可得到DC=BC；
（2）由于BC=DC，DC：AB=3：5，則BC：AB=3：5，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠ACB=90°，則利用正弦的定義得sin∠2=

BC

AB

=

3

5

，即可得到sin∠CAE=

3

5

．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵CE切⊙O于C，
∴OC⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，
而OC=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴

CD

=

BC

，
∴DC=BC；

（2）解：∵BC=DC，DC：AB=3：5，
∴BC：AB=3：5，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠2=

BC

AB

=

3

5

，
而∠2=∠3，
∴sin∠3=

3

5

，
即sin∠CAE=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了圓周角定理．