Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°、動點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)Q以的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．
（1）直接填空：AP=______cm，AQ=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動；點(diǎn)Q以的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動，于是在時(shí)間t內(nèi)即可求出兩點(diǎn)運(yùn)動的位移，即可求出AP和AQ的長度．
（2）①當(dāng)點(diǎn)P、M、N在同一直線上時(shí)，PM+MN的值最小，根據(jù)AQ+QM=AM即可求出t的值，如圖1，若0＜t≤5時(shí)，則AP=4t，，根據(jù)三角形相似證明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面積S的最大值，同理求出當(dāng)5＜t≤10時(shí)，△PQM的面積S的最大值．
解答：解：（1）4t，…（2分）

（2）①當(dāng)點(diǎn)P、M、N在同一直線上時(shí)，PM+MN的值最小．…（3分）
如圖，在Rt△APM中，易知，
又∵，．
由AQ+QM=AM得：，
解得．
∴當(dāng)時(shí)，PM+MN的值最�。�…（7分）
②如圖1，若0＜t≤5時(shí)，則AP=4t，．
則，
又∵，AB=20，
∴．
∴．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
，
當(dāng)時(shí)，S有最大值．…（10分）
②若5＜t≤10時(shí)，則CP=40-4t，PQ=20-2t，．
則，
又∵，CB=20，
∴．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥AC，
當(dāng)時(shí)，S有最大值．…（13分）
綜上，當(dāng)或時(shí)，S的最大值都是．
點(diǎn)評：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)的最值等知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的習(xí)題，難度有點(diǎn)大．