Question

【題目】在中，已知，為的角平分線.\

（1）如圖1，當(dāng)時，在邊上截取，連接，你能發(fā)現(xiàn)線段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系么？請直接寫出你的發(fā)現(xiàn)：________________________（不需要證明）；

（2）如圖2，當(dāng)時，線段、、還有（1）中的數(shù)量關(guān)系么？請證明你的猜想；

（3）如圖3，當(dāng)為的外角平分線時，線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想：______________________.

Answer 1

【答案】（1）AB=AC+CD，理由見解析；（2）還成立，理由見解析；（3）AB+AC=CD，理由見解析；

【解析】

（1）由AD為∠BAC的角平分線，得到∠EAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD，得到ED=CD，∠AED=∠ACD=90°，由于∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，得到∠B=45°，∠BDE=45°，∠B=∠BDE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，于是得到結(jié)論；

（2）如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，即可得解；

（3）如圖3，在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線時，得到∠BAD=∠CAD，通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，即可得解．

證明：(1)AB=AC+CD

理由如下：

∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED與△ACD中，

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴ED=CD,∠AED=∠ACD=90°，

又∵∠ACB=90°，∠ACB=2∠B，

∴∠B=45°，

∴∠BDE=45°，

∴∠B=∠BDE，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+EB=AC+CD;

故答案為：AB=AC+CD

(2)結(jié)論：還成立.

理由：如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，

∵AD為∠BAC的角平分線時，

∴∠BAD=∠CAD，

在△AED與△ACD中，

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴∠AED=∠C，ED=CD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵∠AED=∠B+∠EDB，

∴∠B=∠EDB，

∴EB=ED，

∴EB=CD，

∴AB=AE+EB=AC+CD；

(3)猜想：AB+AC=CD.

證明：如圖3，在BA的延長線上截取AE=AC，連接ED.

∵AD平分∠FAC，

∴∠EAD=∠CAD，

在△AED與△ACD中，

∴△AED≌△ACD(SAS)，

∴ED=CD，∠AED=∠ACD，

∴∠FED=∠ACB，

又∵∠ACB=2∠B，

∴∠FED=2∠B，

又∵∠FED=∠B+∠EDB，

∴∠EDB=∠B，

∴EB=ED，

∴EA+AB=EB=ED=CD，

∴AC+AB=CD.