Question

如圖，已知直線y=-2x+12分別與Y軸，X軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在Y軸上，以點(diǎn)M為圓心的⊙M與直線AB相切于點(diǎn)D，連接MD．
（1）求證：△ADM∽△AOB；
（2）如果⊙M的半徑為2

5

，請(qǐng)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并寫出以（-

5

2

，

29

5

）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)M的拋物線的解析式；
（3）在（2）條件下，試問在此拋物線上是否存在點(diǎn)P使以P、A、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？如果存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意得出MD⊥AB繼而推出∠MDA=∠AOB，∠MAD=∠BAO，然后可證明．
（2）依題意根據(jù)勾股定理求出AB的值，首先△ADM∽△AOB，利用線段比求出AM的值．已知頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可求出a值．
（3）點(diǎn)P若存在，只能在y軸左側(cè)的拋物線上，有六種可能．

解答：（1）證明：∵AB是⊙M切線，D是切點(diǎn)，
∴MD⊥AB．
∴∠MDA=∠AOB=90°，
又∠MAD=∠BAO，
∴△ADM∽△AOB．

（2）解：直線y=-2x+12與x軸交點(diǎn)為B（6，0）與y軸交點(diǎn)為A（0，12）．
∴OA=12，OB=6，AB=

122+62

=6

5

∵△ADM∽△AOB，
∴

AM

AB

=

DM

OB

，
∴AM=

DM•AB

OB

=

2 5 •6 5

6

=10，
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)頂點(diǎn)為（-

5

2

，

29

2

），且過點(diǎn)M的拋物線是y=a（x+

5

2

）²+

29

2

，則a•

25

4

+

29

2

=2，
∴a=-2，
∴y=-2（x+

5

2

）²+

29

2

，
即y=-2x²-10x+2．

（3）解：在拋物線上存在點(diǎn)P使以P，A，M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，由拋物線的形狀可判斷，點(diǎn)P若存在，只能在y軸左側(cè)的拋物線上，且只有六種可能．
∵OA：OB=2；
∴P₁A=P₃M=2AM=20，P₂A=P₄M=

1

2

AM=5．
∴P₁（-20，12），P₂（-5，12），P₃（-20，2），P₄（-5，2）．
根據(jù)P₂A=5，可得P₅A=2

5

，進(jìn)而得出P₅（-4，10），
下面求P₆的坐標(biāo)：顯然MP₆=MD=2

5

，做P₆H⊥AM，H為垂足．
由P₆M²=MH•MA，得MH=

(2 5 )2

10

=2．
由P₆H²=MH•AH，得P₆H=

2×8

=4，
∴P₆（-4，4），
經(jīng)檢驗(yàn)，只有P₄、P₅的坐標(biāo)滿足y=-2x²-10x+2．
∴在拋物線y=-2x²-10x+2上存在點(diǎn)P（-5，2），或P（-4，10），使以P、A、M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，考生要注意的是分析問題要全面．難度較大．