Question

9．如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點D，與直角邊AC相交于點E，且DE∥BC．已知AE=2$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，BC=6，則⊙O的半徑是（　�。�

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 延長EC交圓于點F，連接DF．則根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得DF是直徑．根據(jù)射影定理先求直徑，再得半徑．

解答 解：延長EC交圓于點F，連接DF，
則根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，得DF是直徑，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，
∴DE=4，
在直角△ADF中，根據(jù)射影定理，得
EF=$\frac{{DE}^{2}}{AE}$=4$\sqrt{2}$，
根據(jù)勾股定理，得DF=$\sqrt{{EF}^{2}{+DE}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
則圓的半徑是2$\sqrt{3}$．
故選C．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)，能夠通過作輔助線，把直徑構(gòu)造到直角三角形中，熟練運用相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理的推論以及射影定理和勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．