Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，B（6，0），C（6，8）．折疊三角形ABC，使直角頂點(diǎn)B落在y軸上的T處．
（1）如圖1，折痕為AN，點(diǎn)N在BC上，求點(diǎn)T、點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）如圖2，折痕為CM，點(diǎn)M在AB上，若設(shè)AT=x，
①用含x的代數(shù)式表示BM；
②求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）連接TN，TB，
∵點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，B（6，0），C（6，8），
∴AB=6，BC=8，
∵∠ABC=∠TAB=90°，B沿AN折疊與T重合，
∴△ATN≌△ABT，
∴OT=AB=6，∠OTN=∠ABC=90°=∠TAB，
∴四邊形TABN是矩形，
∴∠TNB=90°，NT=AB=6，BN=OT=6，
∴T的坐標(biāo)是（0，6），N的坐標(biāo)是（6，6）；

（2）①∵沿CM折疊B和T重合，
∴BM=TM，
在Rt△TOM中，OT²+AM²=TM²，
即x²+（6-BM）²=BM²，
解得：BM=x²+3；
②設(shè)AM=a，則BM=6-a，
過(guò)C作CD⊥y軸于D，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠CDA=∠DAB=∠ABC=90°，
∴四邊形DCBA是矩形，
∴CD=AB=6，
∵沿CM折疊B和T重合，
∴△TMC≌△BMC，
∴BC=CT=8，∠CTM=∠MBC=90°，TM=BM=6-a，
在Rt△CDT中，CD=6，CT=8，由勾股定理得：DT=2，
∵∠DAB=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠CDT=∠TAM=90°，
∴△CDT∽△TAM，
∴=，
∴=，
a=，
即M的坐標(biāo)是（，0）．
分析：（1）連接TN，TB，求出AB=6，BC=8，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出△ATN≌△ABT，推出∠OTN=∠ABC=90°=∠TAB，得出四邊形TABN是矩形，推出∠TNB=90°，NT=AB=6，BN=OT=6，即可得出T的坐標(biāo)、N的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)沿CM折疊B和T重合得出BM=TM，在Rt△TOM中，由勾股定理得出OT²+AM²=TM²，代入求出即可；
②設(shè)AM=a，則BM=6-a，過(guò)C作CD⊥y軸于D，得出四邊形DCBA是矩形，推出CD=AB=6，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出△TMC≌△BMC，推出BC=CT=8，∠CTM=∠MBC=90°，TM=BM=6-a，由勾股定理得DT=2，證△CDT∽△TAM，推出=，代入求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．