如圖所示,△ABC中,∠C=90°,tanB=0.6,AB=10.求△ABC的面積.
(1)求△ABC的面積.
(2)求∠BCD的余弦值.
分析:(1)在直角三角形ABC中,由銳角三角函數(shù)定義得到tanB等于對(duì)邊AC比鄰邊BC,根據(jù)tanB的值,得到AC與BC的比值,根據(jù)比值設(shè)出AC與BC,再由AB的長(zhǎng),利用勾股定理列出關(guān)于k的方程,求出方程的解得到k的值,確定出AC與BC的值,利用兩直角邊乘積的一半即可求出三角形ABC的面積;
(2)由三角形ABC的面積等于斜邊AB與AB邊上的高CD乘積的一半表示出面積S,再由第一問(wèn)求出的面積及AB的長(zhǎng),求出高CD的長(zhǎng),在直角三角形BCD中,由銳角三角函數(shù)定義得到余弦值等于鄰邊比斜邊,即CD比BC可得出∠BCD的余弦值.
解答:解:(1)∵△ABC中,∠ACB=90°,
∴tanB=
AC
BC
=0.6=
3
5

設(shè)AC=3k,則BC=5k,又AB=10,
根據(jù)勾股定理得:(3k)2+(5k)2=100,
整理得:k2=
50
17
,又k>0,
∴k=
5
34
17
,
∴AC=
15
34
17
,BC=
25
34
17
,
則△ABC的面積S=
1
2
AC•BC=
375
17
;
(2)∵AB=10,S=
375
17
,
∴S=
1
2
AB•CD=5CD=
375
17

∴CD=
75
17
,又BC=
25
34
17
,
則在Rt△BCD中,cos∠BCD=
CD
BC
=
3
34
34
點(diǎn)評(píng):此題屬于解直角三角形的題型,涉及的知識(shí)有:銳角三角函數(shù)定義,勾股定理,以及三角形的面積求法,靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵.
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6
6

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