Question

18．如圖1，正方形ABCD中，點E為AD上任意一點，連接BE，以BE為邊向BE右側(cè)作正方形BEFG，EF交CD于點M，連接BM，N為BM的中點，連接GN，F(xiàn)N．
（1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的長；
（2）求證：GN=FN；
（3）如圖2，移動點E，使得FN⊥CD于點Q時，請?zhí)骄緾M與DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意分別求出AE、DE，證明△ABE∽△DEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可；
（2）連接EN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EN=$\frac{1}{2}$BM，證明△NBG≌△NEF即可；
（3）延長ED，過點F作FH⊥ED，交ED的延長線于H，證明△ABE≌△HEF，得到AE=HF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DR=FH，等量代換即可．

解答 解：（1）∵AB=4，AE：DE=3：1，
∴AE=3，DE=1，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=5，
∵∠BEF=90°，∠BEF=90°，∠BEF=90°，
∴△ABE∽△DEM，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BE}{EM}$，即$\frac{4}{1}$=$\frac{5}{EM}$，
解得，EM=$\frac{5}{4}$；
（2）連接EN，
∵∠BEF=90°，N為BM的中點，
∴EN=$\frac{1}{2}$BM=BN=NM，
∴∠NBE=∠NEB，
∴∠NBG=∠NEF，
在△NBG和△NEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=EF}\\{∠NBG=∠NEF}\\{NB=NE}\end{array}\right.$，
∴△NBG≌△NEF，
∴GN=FN；
（3）如圖2，延長ED，過點F作FH⊥ED，交ED的延長線于H，
∵∠BCD=90°，N為BM的中點，
∴CN=$\frac{1}{2}$BM=BN=NM，
∵FN⊥CD，
∴CR=MR=$\frac{1}{2}$CM，
∵∠A=∠H=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠ABE=∠FEH，
在△ABE和△HEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠H}\\{∠ABE=∠FEH}\\{BE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△HEF，
∴AE=HF，
∵∠H=∠RDH=∠DRF=90°，
∴四邊形DRFH是矩形，
∴AE=HF=DR，
∴AD-AE=CD-DR，即DE=CR，
∴DE=$\frac{1}{2}$CM．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．