Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=45°，AB=4，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線CE的垂線，垂足為點(diǎn)F．

（1）當(dāng)點(diǎn)F落在AB上時(shí)，求∠BCF的度數(shù)；

（2）若∠EBF=15°，求CF的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠BCF=45°（2）2或2（3）

【解析】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（2）分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在菱形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)F在菱形外部時(shí)；

（3）首先確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

詳解：（1）當(dāng)點(diǎn)F落在AB上時(shí)，點(diǎn)E，F重合，即CF⊥AB．

∵∠ABC=45°，∴∠BCF=45°．

（2）分以下兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)F在菱形內(nèi)部時(shí)，∠FBC=45°﹣15°=30°．在Rt△BFC中，BC=4，∠FBC=30°，sin30°==，∴CF=2；

②當(dāng)點(diǎn)F在菱形外部時(shí)，∠FBC=15°+45°=60°．在Rt△BFC中，BC=4，sin60°==，∴CF=2．

故CF的長(zhǎng)為2或2．

（3）如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫(huà)半圓O，連

接 AC，BD交于點(diǎn)F′，易得點(diǎn)F′在半圓O上，連接OF′．

∵BF⊥CE，∴∠BFC=90°，∴點(diǎn)F在半圓O中的一段弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為的長(zhǎng)．

∵∠ABC=45°，∴∠BCF′=67.5°，∴∠BOF′=135°，∴的長(zhǎng)為=．