如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,過點D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于點E.
(1)求證:AB•AF=CB•CD;
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線段DE上的動點.設(shè)DP=x cm,梯形BCDP的面積為ycm2
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
②y是否存在最大值?若有求出這個最大值,若不存在請說明理由.

證明:(1)∵AD=CD,DE⊥AC,
∴DE垂直平分AC,
∴AF=CF,∠DFA=∠DFC=90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,
∴∠DCF=∠DAF=∠B.
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B,
∴△DCF∽△ABC.
=,即=,
∴AB•AF=CB•CD;

(2)解:連接PB,
①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴AC===12,
∴CF=AF=6.
∴y=(x+9)×6=3x+27;
②由EF∥BC,得△AEF∽△ABC.
AE=BE=AB=,EF=
由∠EAD=∠AFE=90°,∠AEF=∠DEA,得△AEF∽△DEA.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,
∴DF=8.
∴DE=DF+FE=8+=
∵y=3x+27(0≤x≤),函數(shù)值y隨著x的增大而增大,
∴當(dāng)x=時,y有最大值,此時y=
分析:(1)先根據(jù)AD=CD,DE⊥AC判斷出DE垂直平分AC,再由線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出∠DCF=∠DAF=∠B,在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出答案;
(2)①先根據(jù)勾股定理求出AC的長,再由梯形的面積公式即可得出x、y之間的函數(shù)關(guān)系式;
②由EF∥BC,得△AEF∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AB、EF的長,進而可得出△AEF∽△DEA及DF的長,根據(jù)DE=DF+FE可求出DE的長,由①中的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論.
點評:本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)及勾股定理,熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵.
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點O,設(shè)AC=2a,BD=2b,請推導(dǎo)這個四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手.)

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(1)求證:PA=PC.
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(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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