Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點A（6，0）、點B（0，6$\sqrt{3}$），點D是線段AB的中點，點C（0，2$\sqrt{3}$），點E為x軸上一動點．
（1）求直線AB的表達式，并直接寫出點D的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)結(jié)CE、DE，以CE、DE為邊作?CEDF，?CEDF的頂點F恰好落在y軸上，求點F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點M是直線y=x+4$\sqrt{3}$上一點，若以C、D、E、M為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出直線AB的表達式．
（2）由于以CD，DE為邊的四邊形為平行四邊形，且點C、F都在y軸上，所以利用DE平行且相等于CF即可．
（3）①CD為平行四邊形的對角線EM也是這個平行四邊形的對角線，CD，EM平行四邊形的對角線的交點是同一個點，把點E，M的坐標(biāo)設(shè)出，利用中點坐標(biāo)的確定方法，求出CD的中點和EM得中點，是同一個點，即可，②CD為以C、D、E、M為頂點的四邊形為平行四邊形的邊，利用CD∥EM且CD=EM，即可求出．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b，
∵直線AB與x軸，y軸分別相交于點A（6，0）、B（0，6$\sqrt{3}$），
∴6k+b=0，b=6$\sqrt{3}$，
∴k=-$\sqrt{3}$，
即：直線AB的表達式為y=-$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$．
（2）如圖，

∵點D是AB的中點，A（6，0），B（0，6$\sqrt{3}$）
∴D（3，3$\sqrt{3}$），
∵C（0，2$\sqrt{3}$），
∵以CD、DE為邊的平行四邊形交x軸于E，交y軸于F，
∴E（3，0），
∴DE=3$\sqrt{3}$，
∴CF=3$\sqrt{3}$，
∴F（0，-$\sqrt{3}$）．
（3）第一種情況：CD為平行四邊形的對角線，
∵D（3，3$\sqrt{3}$），C（0，2$\sqrt{3}$），
∴CD的中點坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∵點M在直線y=x+4$\sqrt{3}$的圖象上，
設(shè)M（m，m+4$\sqrt{3}$），E（x，y），
∴ME中點坐標(biāo)為（$\frac{m+x}{2}$，$\frac{m+4\sqrt{3}+y}{2}$），
∵CD，ME為平行四邊形的對角線，
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{m+x}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{m+4\sqrt{3}+y}{2}$，
∴x=3-m，y=$\sqrt{3}$-m，
∵點E在x軸上，
∴y=0，
∴m=$\sqrt{3}$，
即M（$\sqrt{3}$，5$\sqrt{3}$），E（3-$\sqrt{3}$，0），
第二種情況：CD為平行四邊形的邊，則EM也為邊，
即CD∥EM，CD=EM，
∵點C（0，2$\sqrt{3}$）、點D（3，3$\sqrt{3}$），
∴CD=2$\sqrt{3}$，
 直線CD的表達式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴直線EM的表達式可設(shè)為為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∴E（-$\sqrt{3}$b，0），
設(shè)M（m，m+4$\sqrt{3}$），
∴EM²=（m+$\sqrt{3}$b）²+（m+4$\sqrt{3}$）²=CD²=12①
點M在直線EM的圖象上，
∴m+4$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}m+b$②
由①②有m=-3$\sqrt{3}$或m=-5$\sqrt{3}$，
   M₁（-3$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），E₁（-3-3$\sqrt{3}$，0）
   M₂（-5$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），E₂（3-5$\sqrt{3}$，0）
故符合條件的點的坐標(biāo)為 M₁（-3$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），E₁（-3-3$\sqrt{3}$，0）
   M₂（-5$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），E₂（3-5$\sqrt{3}$，0）
  M₃（$\sqrt{3}$，5$\sqrt{3}$），E₂（3-$\sqrt{3}$，0）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)表達式的確定以及一次函數(shù)和平行四邊形的判定的綜合運用．用到的知識點比較多，如確定直線的表達式，平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點坐標(biāo)的確定，本題的關(guān)鍵是線段的中點坐標(biāo)的確定和兩點之間的距離的計算方法的確定，如EM²=（m+$\sqrt{3}$b）²+（m+4$\sqrt{3}$）²=CD²=12．