Question

已知拋物線y＝－x²＋ax＋b的頂點為D，它與x軸相交于原點兩側(cè)的兩點A(x₁，0)、B(x₂，0)(x₁＜x₂)，且a、b是關(guān)于x的一元二次方程x²－(m＋4)x＋4m＝0的兩個實根．

(1)如果|x₁|＋|x₂|＝6，求拋物線的解析式；

(2)如果拋物線與y軸的交點為C，試問是否存在這樣的拋物線，使以AD為直徑的圓M截y軸所得的弦EF恰以點C為中點？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵方程x2－(m＋4)x＋4m＝0的兩個根為4和m，根據(jù)題意，得 　　a＝4，b＝m或a＝m，b＝4． 　　∴A、B位于原點兩側(cè)且x1＜x2， 　　∴x1＜0、x2＞0． 　　∵|x1|＋|x2|＝6， 　　∴(x2－x1)2＝36， 　　即(x1＋x2)2－4x1x2＝36． 　　∵x1＋x2＝a， 　　x1x2＝－b， 　　∴a2＋4b＝36． 　　①當(dāng)a＝4，b＝m時，16＋4b＝36， 　　∴b＝5． 　　此時的拋物線的解析式為 　　y＝－x2＋4x＋5． 　　②當(dāng)a＝m，b＝4時，有a2＋16＝36， 　　∴a＝±2． 　　此時拋物線的解析式為 　　y＝－x2±2x＋4． 　　(2)如圖，作DH、MC⊥x軸，垂足分別為H、C，設(shè)C為EF的中點，連結(jié)MC，則MC⊥EF，MC＝DH． 　　∵拋物線開口向下，且與x軸有兩個不同的交點，∴D、M均在x軸上方． 　　∵a＝4，b＝m或a＝m，b＝4，故有： 　�、賿佄锞�的解析式為y＝－x2＋4x＋m時，其頂點D為(2，m＋4)，與y軸交于C(0，m)，故GM＝(m＋4)＝m，∴m＝4，此時拋物線的解析式為 　　y＝－x2＋4x＋4． 　�、趻佄锞�的解析式為y＝－x2＋mx＋4時，其頂點D為(，)，與y軸的交點為C(0，4)，由＝4得m＝±4，此時拋物線的解析式為 　　y＝－x2±4x＋4． 　　綜合①、②知，存在這樣的拋物線 　　y＝－x2±4x＋4．

提示：

有關(guān)二次曲線和二次方程的問題蘊(yùn)含很多知識點，有較大的命題空間，所以一直是各地中考命題的熱點．在2000年的試卷中，很多省市都是以這類問題為壓軸題．這類問題的敘述往往較長，先給出一些總的前提條件，而后一般給出2～3個小問題，其中每個小問題之中，也可能再給出幾個針對這個小問題的條件． 　　本題第(1)小問中給出了條件|x1|＋|x2|＝6，即一元二次方程－x2＋ax＋b＝0的兩個實數(shù)根的關(guān)系． 　　利用根與系數(shù)關(guān)系，及|x1|＋|x2|＝6，易得a與b的關(guān)系式a2－4b＝36，而a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2－(m＋4)x＋4m＝0的兩個根，此方程的兩個根為4和m，可以分a＝4，b＝m和a＝m，b＝4兩種情況求出a、b的值．至此第(1)小問得解． 　　第(2)小問是一道結(jié)論探索性問題．這類問題的敘述形式往往為：“若存在，請求出；若不存在，請說明理由．”通常的解法是，按求解題去做，若遇到不可逾越的困難或矛盾，再設(shè)法從“不存在”方面去考慮．求解本小題的關(guān)鍵在于通過對圖形的分析，得到關(guān)系式OC＝DH，由此確定m的值，使問題得到解決．