Question

如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD所在平面上的點(diǎn)，如果∠PAD=∠PBC，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-6．

（1）如圖2，若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-6，4）、D（0，4），點(diǎn)P在DC邊上，且點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；
（2）如圖3，若A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-2，4）、D（0，4）．
①若P在DC邊上時(shí)，則四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；
②在①的條件下，將PB沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜6）得到線段P′B′，連接P′D，B′D，試用含m的式子表示P′D²+B′D²，并求出使P′D²+B′D²取得最小值時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
③如圖4，若點(diǎn)P為四邊形ABCD關(guān)于A、B的等角點(diǎn)，且點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，t），求t的值；
④以四邊形ABCD的一邊為邊畫四邊形，所畫的四邊形與四邊形ABCD有公共部分，若在所畫的四邊形內(nèi)存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P分別是各相鄰兩頂點(diǎn)的等角點(diǎn)，且四對(duì)等角都相等，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,勾股定理

專題：常規(guī)題型,幾何變換

分析：（1）連結(jié)AP，BP，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出PD=PC而得出結(jié)論；
（2）①由△ADP∽△BCP就可以得出

AD

BC

=

DP

CP

而求出結(jié)論；
②求出代表P′D²+B′D²的方程式，并求最小值．
③畫圖求證△PAM∽△PBN，值得注意的是本題有兩個(gè)圖形，容易漏掉一個(gè)答案．
④由題意可知，必須是正方形才能滿足題干要求．

解答：解：（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)（-6，0），A點(diǎn)坐標(biāo)（-6，4）、D點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），可以得出四邊形ABCD為矩形，
∵P在CD邊上，且∠PAD=∠PBC，∠ADP=∠BCP，BC=AD；
∴△ADP≌△BCP，∴CP=DP，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
（2）①∵∠DAP=∠CBP，∠BCP=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△BCP，
∴

AD

BC

=

DP

CP

=

2

6

=

1

3

，
∴CP=3DP，∴CP=3，DP=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；

②如圖3，由題意，易得 B′（m-6，0），P′（m，3）

由勾股定理得P′D²+B′D²=PP′²+PD²+OD²+B′C²=m²+（4-3）²+4²+（m-6）²=2m²-12m+53
∵2＞0
∴P′D²+B′D²有最小值
當(dāng)M=-

-12

2×2

=3時(shí)，（在0＜m＜6范圍內(nèi)）時(shí)，P′D²+B′D²有最小值，此時(shí)P′坐標(biāo)為（3，3）；
③由題意，知點(diǎn)P在直線x=1上，延長(zhǎng)AD交直線x=1于M
a）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上時(shí)

易證△PAM∽△PBN
∴

PM

PN

=

AM

BN

，
即

4-t

t

=

3

7

，
解得t=2.8
b）如圖，當(dāng)點(diǎn)P為BA的延長(zhǎng)線與直線x=1的交點(diǎn)時(shí)
易證△PAM∽△PBN
∴

PM

PN

=

AM

BN

，
即

t-4

t

=

3

7

，
解得t=7
綜上可得，t=2.8或t=7
④因滿足題設(shè)條件的四邊形是正方形
故所求P的坐標(biāo)為（-1，3），（-2，2），（-3，3），（-2，0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的特性，考查了相似三角形的證明和應(yīng)用、全等三角形的證明和應(yīng)用，考查了坐標(biāo)軸的應(yīng)用．