Question

【題目】正方形ABCD的邊長為1，點O是BC邊上的一個動點（與B，C不重合），以O為頂點在BC所在直線的上方作∠MON=90°

（1）當OM經(jīng)過點A時，

①請直接填空：ON______（可能，不可能）過D點：（圖1僅供分析）

②如圖2，在ON上截取OE=OA，過E點作EF垂直于直線BC，垂足為點F，作EH⊥CD于H，求證：四邊形EFCH為正方形；

③如圖2，將②中的已知與結論互換，即在ON上取點E（E點在正方形ABCD外部），過E點作EF垂直于直線BC，垂足為點F，作EH⊥CD于H，若四邊形EFCH為正方形，那么OE與OA是否相等？請說明理由；

（2）當點O在射線BC上且OM不過點A時，設OM交邊AB于G，且OG=2．在ON上存在點P，過P點作PK垂直于直線BC，垂足為點K，使得S△PKO=S△OBG，連接GP，則當BO為何值時，四邊形PKBG的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

【答案】（1）①不可能②見解析③OA=OE（2）當BO為時，四邊形PKBG的面積最大，最大面積為

【解析】

（1）①若ON過點D時，則在△OAD中不滿足勾股定理，可知不可能過D點；

②由條件可先判業(yè)四邊形EFCH為矩形，再證明△OFE≌△ABO，可證得結論；

③結論：OA=OE．如圖2-1中，連接EC，在BA上取一點Q，使得BQ=BO，連接OQ．證明△AQO≌△OCE（ASA）即可．

（2）由條件可證明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性質可求得OP=2，可求得△POG面積為定值及△PKO和△OBG的關系，只要△CGB的面積有最大值時，則四邊形PKBG的面積就最大，設OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，則可用a表示出△OBG的面積，利用二次函數(shù)的性質可求得其最大值，則可求得四邊形PKBG面積的最大值．

（1）①若ON過點D，則OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，這與∠MON=90°矛盾，

∴ON不可能過D點，

故答案為：不可能；

②如圖2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，

∴四邊形EFCH為矩形，

∵∠MON=90°，

∴∠EOF=90°-∠AOB，

在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，

∴∠EOF=∠BAO，

在△OFE和△ABO中，

∴△OFE≌△ABO（AAS），

∴EF=OB，OF=AB，

又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，

∴CF=EF，

∴四邊形EFCH為正方形；

③結論：OA=OE．

理由：如圖2-1中，連接EC，在BA上取一點Q，使得BQ=BO，連接OQ．

∵AB=BC，BQ=BO，

∴AQ=QC，

∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，

∴△AQO≌△OCE（ASA），

∴AO=OE．

（2）

∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO=S△OBG，

∴

∴OP=1，

∴S△POG=OGOP=×1×2=1，

設OB=a，BG=b，則a2+b2=OG2=4，

∴b=

∴

∴當a2=2時，△OBG有最大值1，此時S△PKO=S△OBG=，

∴四邊形PKBG的最大面積為1+1+= ．

∴當BO為時，四邊形PKBG的面積最大，最大面積為．