Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求b、c的值；
（2）P為拋物線上的點(diǎn)，且滿足S_△PAB=8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線交y 軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最�。咳舸嬖�，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），
∴，
解之，得，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由題意，得
S_△ABC=×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4，
當(dāng)y=4時(shí)，x²-2x-3=4，
∴x₁=1+，x₂=1-，
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-2x-3=-4，
∴x=1，
∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、（1，-4）時(shí)，S_△PAB=8；

（3）在拋物線y=x²-2x-3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小．
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最�。�
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B（3，0），
∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)，
拋物線y=x²-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點(diǎn)B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．
分析：（1）拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求得y值，分別代入從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．又能求得由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求得y值，分別代入從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最�。�又能求得由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．本題有一定難度，需要考慮仔細(xì)，否則漏解．