Question

如圖，直線L₁：y=kx-4（k＞0）與x軸、y軸分別交于點A、B，現(xiàn)將直線L₁沿x軸正方向平移m個單位長度后得到直線L₂，直線L₂與x，y軸分別交于點C、D，已知兩直線L₁，L₂之間的距離等于3．
（1）用含k的代數(shù)式表示m；
（2）若S_△AB0：S_{四邊形ABDC}=1：3，試求點A坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）先由直線L₁的解析式為y=kx-4（k＞0），得出L₁與x軸、y軸的交點A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的規(guī)律得出直線L₂的解析式為y=k（x-m）-4，則L₂與x，y軸的交點C、D的坐標(biāo)可求．過A、B分別作L₂的垂線段AE、BF，則AE=BF=3，由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似得出△ACE∽△DBF，則

AC

DB

=

CE

BF

，即

m

km

=

m2-9

3

，整理后即可得出用含k的代數(shù)式表示m的式子；
（2）先由AB∥CD，得出△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出S_△AB0：S_△CD0=（OA：OC）²=1：4，則OA：OC=1：2，由此列出方程m+

4

k

=2×

4

k

，進而得出m=

4

k

，再將m=

3 k+1

k

代入，求出k=

7

9

，即可得到點A的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線L₁：y=kx-4（k＞0）與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（

4

k

，0），B（0，-4）．
∵將直線L₁沿x軸正方向平移m個單位長度后得到直線L₂，
∴直線L₂的解析式為y=k（x-m）-4．
∵直線L₂與x，y軸分別交于點C、D，
∴C（m+

4

k

，0），D（0，-km-4）．
過A、B分別作L₂的垂線段AE、BF，則AE=BF=3．
在△ACE與△DBF中，

∠CAE=∠BDF ∠AEC=∠DFB

，
∴△ACE∽△DBF，
∴

AC

DB

=

CE

BF

，即

m

km

=

m2-9

3

，
整理，得m=

3 k+1

k

；

（2）∵S_△AB0：S_{四邊形ABDC}=1：3，
∴S_△AB0：S_△CD0=1：4．
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴S_△AB0：S_△CD0=（OA：OC）²，
∴（OA：OC）²=1：4，
∴OA：OC=1：2，
∴OC=2OA，
∴m+

4

k

=2×

4

k

，
∴m=

4

k

，
∵m=

3 k+1

k

，
∴

3 k+1

k

=

4

k

，
解得k=

7

9

，
∴點A坐標(biāo)為（

36

7

，0）．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度．