Question

20．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的兩直角邊分別在兩坐標(biāo)軸上，A（a，0），B（0，a），OC⊥AB于C．
（1）若a=8，求△AOC的面積；
（2）直線AD分別交OC于D，交y軸于E，且OD=OE，過(guò)B作BF⊥直線AD于F，求證：AE=2BF；
（3）點(diǎn)G與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是X軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BP的垂線與AG相交于點(diǎn)H，若點(diǎn)M為第一象限內(nèi)任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥HM于Q，當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BQP的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出∠BQP的度數(shù)；若變化，請(qǐng)求出其變化范圍．

Answer 1

分析 （1）由A（a，0），B（0，a），得到OA=OB=a，根據(jù)OC⊥AB于C，求出OC=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到∠OED+∠OAE=90°，由OC⊥AB，得到∠CDA+∠CAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OAD=∠CAD，證得AD為∠OAB的平分線，延長(zhǎng)BF交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=2BF，推出△BMO≌△AEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）由點(diǎn)G與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，得到∠GAO=∠BAO=45°，求出∠BAG=90°，由于BP⊥PG，BQ⊥QG，于是得到∠BPH=∠BAG=∠BQG=90°，推出P，H，Q，QB四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（a，0），B（0，a），
∴OA=OB=a，
∵OC⊥AB于C，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=AC=BC，當(dāng)a=8時(shí)，OC=AC=4，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}×4×4$=8；

（2）∵OD=OE，∠OED=∠ODE=∠CDA，
∵OE⊥AO，
∴∠OED+∠OAE=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CDA+∠CAD=90°，
∴∠OAD=∠CAD，
∴AD為∠OAB的平分線，
延長(zhǎng)BF交x軸于點(diǎn)M，則BM=2BF，
∵∠BMO+∠OBM=90°，∠OBF+∠BEF=∠OBF+∠OEA=90°，
∴∠BMO=∠OEA，
在△BMO與△AEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠OEA}\\{∠MOB=∠EOA}\\{BO=OA}\end{array}\right.$，
∴△BMO≌△AEO，
∴AE=BM=2BF，

（3）∠BQP不變，∠BQP=45°，
∵點(diǎn)G與B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴∠GAO=∠BAO=45°，
∴∠BAG=90°，
∵BP⊥PG，BQ⊥QG，
∴∠BPH=∠BAG=∠BQG=90°，
∴P，H，Q，QB四點(diǎn)共圓，
∴∠BQP=∠BAP=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．