Question

如圖，已知經(jīng)過原點的拋物線y=-2x²+4x與x軸的另一交點為A，現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P．
（1）求點A的坐標，并判斷△PCA存在時它的形狀（不要求說理）；
（2）在x軸上是否存在兩條相等的線段？若存在，請一一找出，并寫出它們的長度（可用含m的式子表示）；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)△CDP的面積為S，求S關(guān)于m的關(guān)系式．

Answer 1

（1）令-2x²+4x=0，
得x₁=0，x₂=2
∴點A的坐標為（2，0）
△PCA是等腰三角形．

（2）存在．
OC=AD=m，OA=CD=2．

（3）如圖，當(dāng)0＜m＜2時，作PH⊥x軸于H，
設(shè)P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=2-m，
∴CH=

AC

2

=

2-m

2

∴x_P=OH=m+

2-m

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，
得y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2
如圖，當(dāng)m＞2時，作PH⊥x軸于H，
設(shè)P（x_P，y_P）
∵A（2，0），C（m，0）
∴AC=m-2，
∴AH=

m-2

2

∴x_P=OH=2+

m-2

2

=

m+2

2

把x_P=

m+2

2

代入y=-2x²+4x，得
y_P=-

1

2

m²+2
∵CD=OA=2
∴S=

1

2

CD•HP=

1

2

•2•(-yP)=

1

2

m²-2．
綜上可得：S=

- 1 2 m2+2(0＜m＜2) 1 2 m2-2(m＞2)

．