定義:如果一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)分割,能分為4個(gè)與自身相似的圖形,我們稱它為“能四階自相似分割圖形”.如圖1,任意△ABC取各邊的中點(diǎn)D、E、F,連接DE、EF、DF,分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF顯然都與△ABC相似,則任意△ABC是“能四階自相似分割圖形”.

(1)小明發(fā)現(xiàn):任意矩形ABCD(如圖2)也是“能四階自相似分割圖形”.請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作出分割線.(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)同組的小華思考后提出:能不能設(shè)計(jì)一種方案,將任意△ABC分割成四個(gè)與△ABC相似的小三角形,且其中至少有兩個(gè)小三角形的相似比不為1?為了研究方便,小華取AB=6,AC=4,BC=5,(如圖3)并成功地設(shè)計(jì)出了分法.請(qǐng)你完成小華的分法,并簡(jiǎn)單地說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)作AD的中垂線MN、AB的中垂線PQ即可,分成的四個(gè)矩形和原來(lái)的矩形相似.
(2)在BC上取點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F,就可以將任意△ABC分割成四個(gè)與△ABC相似的小三角形,且其中至少有兩個(gè)小三角形的相似比不為1.
解答:解:(1)如圖2,作AD的中垂線MN、AB的中垂線PQ即可,分得的四個(gè)矩形與原矩形相似.(2分)

(2)如圖3,在BC上取點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F,易證:△CDE∽△DBF∽△CBA,
四邊形AEDF為平行四邊形,
設(shè)CE=x,則AE=4-x,
∵△CDE∽△CBA,可得,∴DE=x,
∴AF=DE=x,(6分)
如果:△AEF∽△ABC,可得,∴CE=,
∴AF=,CD=.(8分)
(其他類似方法同樣給分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖的知識(shí)點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義:如果一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)分割,能分為4個(gè)與自身相似的圖形,我們稱它為“能四階自相似分割圖形”.如圖1,任意△ABC取各邊的中點(diǎn)D、E、F,連接DE、EF、DF,分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF顯然都與△ABC相似,則任意△ABC是“能四階自相似分割圖形”.
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(1)小明發(fā)現(xiàn):任意矩形ABCD(如圖2)也是“能四階自相似分割圖形”.請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作出分割線.(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)同組的小華思考后提出:能不能設(shè)計(jì)一種方案,將任意△ABC分割成四個(gè)與△ABC相似的小三角形,且其中至少有兩個(gè)小三角形的相似比不為1?為了研究方便,小華取AB=6,AC=4,BC=5,(如圖3)并成功地設(shè)計(jì)出了分法.請(qǐng)你完成小華的分法,并簡(jiǎn)單地說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2012•海淀區(qū)二模)閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:
我們定義:如果一個(gè)圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α (0°<α<360°) 后所得的圖形與原圖形重合,則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.如等邊三角形就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心,D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn),請(qǐng)你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個(gè)與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.

小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個(gè)問(wèn)題,圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.
請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法,利用圖形變換解決下列問(wèn)題:
如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn),P1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn).
(1)在圖3中畫出一個(gè)和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為
a
7
a
7

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2013•宜興市二模)閱讀下面材料:
小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:定義:如果一個(gè)圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α (0°<α<360°) 后所得的圖形與原圖形重合,則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.如等邊三角形就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心,D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn),請(qǐng)你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個(gè)與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個(gè)問(wèn)題(如圖2所示).圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法,利用圖形變換解決下列問(wèn)題:
如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn),P 1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn).
(1)在圖3中畫-個(gè)和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的邊長(zhǎng)為6,則圖3中△ABM1的面積為
3
3
3
3

(3)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為
a
7
a
7

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

定義:如果一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)分割,能分為4個(gè)與自身相似的圖形,我們稱它為“能四階自相似分割圖形”.如圖1,任意△ABC取各邊的中點(diǎn)D、E、F,連接DE、EF、DF,分得的△ADF、△BDE、△DEF、△CEF顯然都與△ABC相似,則任意△ABC是“能四階自相似分割圖形”.
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(1)小明發(fā)現(xiàn):任意矩形ABCD(如圖2)也是“能四階自相似分割圖形”.請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作出分割線.(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)同組的小華思考后提出:能不能設(shè)計(jì)一種方案,將任意△ABC分割成四個(gè)與△ABC相似的小三角形,且其中至少有兩個(gè)小三角形的相似比不為1?為了研究方便,小華取AB=6,AC=4,BC=5,(如圖3)并成功地設(shè)計(jì)出了分法.請(qǐng)你完成小華的分法,并簡(jiǎn)單地說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年河北省中考數(shù)學(xué)模擬試卷(十一)(解析版) 題型:解答題

閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:
我們定義:如果一個(gè)圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α (0°<α<360°) 后所得的圖形與原圖形重合,則稱此圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.如等邊三角形就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.如圖1,點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心,D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn),請(qǐng)你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個(gè)與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.

小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個(gè)問(wèn)題,圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.
請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法,利用圖形變換解決下列問(wèn)題:
如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn),P1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn).
(1)在圖3中畫出一個(gè)和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為______.

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