Question

平面內(nèi)有四個不同的點A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，則滿足題意的OC長度的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：垂徑定理,等邊三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：

分析：分兩種情況進行討論：①如圖1，根據(jù)圓周角定理可以推出點C在以點O為圓心的圓上；②如圖2，根據(jù)已知條件可知對角∠AOB+∠ACB=180°，則四個點A、O、B、C共圓．分類討論：如圖1，如圖2，在不同的四邊形中，利用垂徑定理、等邊△MAO的性質(zhì)來求OC的長度．

解答：解：分兩種情況：
①如圖1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=60°，
∴點C在以點O為圓心的圓上，且在優(yōu)弧AB上．
∴OC=AO=BO=2；
②如圖2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴四個點A、O、B、C共圓．
設(shè)這四點都在⊙M上．點C在優(yōu)弧AB上運動．
連接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB=60°，
∴∠AMB=2∠ACB=120°．
∵AO=BO=2，
∴∠AMO=∠BMO=60°．
又∵MA=MO，
∴△AMO是等邊三角形，
∴MA=AO=2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4．
綜上所述，2≤OC≤4．
故答案為2≤OC≤4．

點評：本題考查了垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題需要分類討論，以防漏解．在解題時，還利用了圓周角定理，圓周角、弧、弦間的關(guān)系．