Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4

2

，∠B=45°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→D→A，以同樣速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求線段BC的長(zhǎng)度；
（2）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的△MCN的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△MCN的面積S最大，并求出最大面積；
（3）試探索：當(dāng)M，N在運(yùn)動(dòng)過程中，△MCN是否可能為等腰三角形？若可能，則求出相應(yīng)的t值；若不可能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知作出AE⊥BC，DF⊥BC，進(jìn)而得出EF=AD=3；由勾股定理得出CF的長(zhǎng)即可得出答案；
（2）首先利用當(dāng)0≤t≤5時(shí)，得出△NGC∽△DFC進(jìn)而得出

CN

CD

=

NG

DF

，再利用當(dāng)5≤t≤8時(shí)得出s與t的關(guān)系式求出即可；
（3）從當(dāng)MC=NC時(shí)，當(dāng)MN=NC時(shí)，當(dāng)MN=MC時(shí)，分別分析得出即可．

解答：解：（1）如圖1，
分別過A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分別交BC于E，F(xiàn)；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=4

2

；
∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=

DC2-DF2

=

52-42

=3；（2分）
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）

（2）①如圖2，
當(dāng)0≤t≤5時(shí)，CN=BM=t，
MC=10-t；
過N作NG⊥于BC于點(diǎn)G；∴△NGC∽△DFC
∴

CN

CD

=

NG

DF

，即

t

5

=

NG

4

；
∴NG=

4t

5

；
∴S=

1

2

MC•NG=

1

2

•(10-t)•

4t

5

=-

2

5

t2+4t；
∵-

2

5

＜0，函數(shù)開口向下；
∴當(dāng)t=-

4

- 4 5

=5時(shí)，S_max=10；（5分）
②如圖3，
當(dāng)5≤t≤8時(shí)，S=

1

2

MC•DF=

1

2

•(10-t)•4=-2t+20；
∵-2＜0，即S隨t的減小而增大；
∴當(dāng)t=5時(shí)，S_max=10；（6分）
綜上：S=

- 2 5 t2+4t(0≤t≤5) -2t+20，(5＜t≤8)

，
當(dāng)t=5時(shí)，△MCN的面積S最大，最大值為10；

（3）當(dāng)0≤t≤5時(shí)：CN=BM=t，MC=10-t；
①當(dāng)MC=NC時(shí)，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②當(dāng)NM=NC時(shí)，如圖4，
過N作NH⊥BC于點(diǎn)H，
則有HC=MH，可得：

3

5

t=

1

2

(10-t)，
解得：t=

50

11

；（8分）
③當(dāng)MN=MC時(shí)，如圖4，

過M作MI⊥CD于I，CI=

1

2

t，又cosC=

3

5

，
即：

CI

CM

=

3

5

，可得

1 2 t

10-t

=

3

5

，解得：t=

60

11

＞5（舍去）；（9分）
當(dāng)5＜t≤8時(shí)，如圖5，
過C作CJ⊥AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，過N作NK⊥BC于點(diǎn)K；
則：MC²=（10-t）²=t²-20t+100；MN²=（12-2t）²+4²=4t²-48t+160；NC²=（t-2）²+4²=t²-4t+20；
④當(dāng)MC=NC時(shí)，t²-20t+100=t²-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤當(dāng)MN=MC時(shí)，4t²-48t+160=t²-20t+100，
解得：t1=6，t2=

10

3

＜5（舍去）；（11分）
⑥當(dāng)MN=NC時(shí)，t²-4t+20=4t²-48t+160，
解得：t1=10＞8，t2=

14

3

＜5（舍去）．（12分）
綜上：當(dāng)t=5，

50

11

，6時(shí)，△MCN為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值和一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，分別從當(dāng)MC=NC時(shí)，當(dāng)MN=NC時(shí)，當(dāng)MN=MC時(shí)進(jìn)行分類討論注意不要漏解．