Question

【題目】如圖，是的直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)，弦，交于點(diǎn)，且弧弧，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（1）求證：是等邊三角形；

（2）若，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2 ．

【解析】

（1）由AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線(xiàn)，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到弧弧，于是得到弧弧=弧AC ，問(wèn)題即可得證；
（2）連接OE，過(guò)O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質(zhì)得到BE=AE，ON=AO，設(shè)⊙O的半徑為：r則ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+r，BE=AE= ，在Rt△DEF與Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線(xiàn)，
∴AB⊥BE，
∵CD∥BE，
∴CD⊥AB，
∴弧AD=弧AC，
∵弧弧，
∴弧弧=弧AC，
∴AD=AC=CD，
∴△ACD是等邊三角形；
（2）解：連接OE，過(guò)O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE=AE，ON=AO，
設(shè)⊙O的半徑為：r，

∴ON=r，AN=DN=r，
∴EN=2+r，BE=AE= ，
在Rt△NEO與Rt△BEO中，
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，
即（）2+（2+ ）2=r2+()2，
∴r=2，
∴OE2=()2+25=28，
∴OE=2 ．