Question

（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過O（0，0）、
A（4，0）、B（3，）三點(diǎn).
（1）求此拋物線的解析式；
（2）以O(shè)A的中點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M，在（1）中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作⊙M的切線l ，且l與x軸的夾角為30°，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（注意：本題中的結(jié)果可保留根號(hào)）

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：
由題意得：  ……………1分
解得：………………2分
∴拋物線的解析式為：………………1分

 
（2）存在                                         
（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，作拋物線和⊙M（如圖），
設(shè)滿足條件的切線 l 與 x 軸交于點(diǎn)B，與⊙M相切于點(diǎn)C
連接MC，過C作CD⊥ x 軸于D
∵ MC =" OM" =" 2, " ∠CBM = 30°,  CM⊥BC
∴∠BCM = 90°，∠BMC = 60°，BM =" 2CM" =" 4" ,  ∴B (-2, 0)                  
在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°
∴DM =" 1,  " CD = =        ∴   C (1, )
設(shè)切線 l 的解析式為:，點(diǎn)B、C在 l 上，可得：
        解得： 
∴切線BC的解析式為：
∵點(diǎn)P為拋物線與切線的交點(diǎn)
由        解得：        
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，    ………………4分
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線
此拋物線、⊙M都與直線成軸對(duì)稱圖形
于是作切線 l 關(guān)于直線的對(duì)稱直線 l′(如圖)
得到B、C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B1、C1
l′滿足題中要求，由對(duì)稱性，得到P1、P2關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)：
 ，即為所求的點(diǎn). ………………4分
（本題其它解法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）

解析