Question

18．如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，A，B，D三點(diǎn)不在同一條直線上．
（1）試判斷BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）設(shè)BD與CE交點(diǎn)為F，若∠BAC=45°，求∠BFC的度數(shù)；
（3）分別取BD與CE中點(diǎn)M，N，連接AM，AN，試判斷AM與AN之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠BAD=∠CAE，證得△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACE，推出A，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義得到BM=CN，推出△ABM≌△ACN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到即可結(jié)論．

解答 解：（1）BD=CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=CE；

（2）∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴A，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠BFC=∠BAC=45°；

（3）AM=AN，
∵BD=CE，
∵M(jìn)，N是BD與CE中點(diǎn)，
∴BM=CN，
在△ABM與△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABM=∠ACN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．