Question

如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得S_△PAB=8S_△ABD？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由
（3）若拋物線的對稱軸與x軸交于E點(diǎn)，點(diǎn)F在直線BC上，點(diǎn)M在的二次函數(shù)圖象上，如果以點(diǎn)F、M、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請你求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，則

解得，
則y=x²-2x-3
y=x²-2x-3=（x-1）²-4或，=-4
故D（1，-4）

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0
x₁=3，x₂=-1
則B（3，0），AB=4
則S_△ABD=×4×4=8
8 S_△ABD=4×8=64
設(shè)P（x，x²-2x-3）
當(dāng)S_△PAB=64時(shí)，×4×（x²-2x-3）=64
解得：x₁=7，x₂=-5
當(dāng)x=7時(shí)，y=x²-2x-3=49-14-3=32
當(dāng)x=-5時(shí)，y=x²-2x-3=45+10-3=32
綜上：P₁（7，32）P₂（-5，32）

（3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則

解得，
則y=x-3
由題意知：DE=4
∵F、M、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴FM∥DE，F(xiàn)M=DE
∴（x²-2x-3）-（x-3）=4
解得：x₁=4，x₂=-1
當(dāng)x=4時(shí)，x²-2x-3=16-8-3=5
當(dāng)x=-1時(shí)，x²-2x-3=1+2-3=0
故M₁（4，5），M₂（-1，0）．
分析：（1）將A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，再配方或頂點(diǎn)公式得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求得AB=4，可設(shè)P（x，x²-2x-3），根據(jù)S_△PAB=8S_△ABD，可得方程×4×（x²-2x-3）=64，依此可求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，得到DE=4，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式得到方程，從而求得符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式和交點(diǎn)坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵，此題題型較好，綜合性比較強(qiáng)．用的數(shù)學(xué)思想是分類討論的思想．