Question

（2013•營口）如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=

10

，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．先由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO，再由切線的性質(zhì)得出OC⊥CD，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得到AD∥CO，由平行線的性質(zhì)得∠DAC=∠ACO，等量代換后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD；
（2）解法一：如圖2①，過點O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂徑定理求出AE=

10

2

，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AEO∽△ADC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

AE

AD

=

AO

AC

，求出AO=

5

3

，即⊙O的半徑為

5

3

；解法二：如圖2②，連接BC．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△ABC∽△ACD，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

AC

AD

=

AB

AC

，求出AB=

10

3

，則⊙O的半徑為

5

3

．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠BAD；

（2）解法一：如圖2①，過點O作OE⊥AC于E．
在Rt△ADC中，AD=

AC2-DC2

=

( 10 )2-12

=3，
∵OE⊥AC，
∴AE=

1

2

AC=

10

2

．
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC，
∴

AE

AD

=

AO

AC

，即

10 2

3

=

AO

10

，
∴AO=

5

3

，即⊙O的半徑為

5

3

．
解法二：如圖2②，連接BC．
在Rt△ADC中，AD=

AC2-DC2

=

( 10 )2-12

=3．
∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠DAC，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
即

10

3

=

AB

10

，
∴AB=

10

3

，
∴AO=

1

2

AB=

1

2

×

10

3

=

5

3

，
即⊙O的半徑為

5

3

．

點評：本題考查了等腰三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．