Question

如圖，點A是半徑為2的⊙O與雙曲線y=

k

x

的一個交點，雙曲線與⊙O的四個交點A、B、C、D，點A的坐標是（1，a）．
（1）求k，a的值；
（2）求△AOB的面積；
（3）若雙曲線與⊙O僅有兩個交點，求此時k的值．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）由A的坐標，根據勾股定理即可求得a的值，把A（1，

3

）代入雙曲線的解析式即可求得k；
（2）根據雙曲線的解析式和OB的長即可求得B的坐標，然后根據S_△AOB=S_梯形AEFB+S_△AOE-S_△BOF=S_梯形AEFB即可求得結論；
（3）根據已知條件可知雙曲線與⊙O的兩個交點為P（

2

，

2

），Q（-

2

，-

2

），代入代入y=

k

x

即可求得k的值；

解答：解：（1）∵點A的坐標是（1，a）．
∴1²+a²=2²，
解得a=

3

，
∴A（1，

3

），
代入y=

k

x

得

3

=

k

1

，
解得k=

3

，

（2）如圖，作AE⊥x軸，BF⊥x軸，設B（m，

3

m

），
∴OB²=m²+（

3

m

）²，
∴m⁴-4m²+3=0，
解得m=

3

或m=1，
∴B的坐標為（

3

，1），
∴AE=

3

，BF=1，EF=

3

-1，
∴S_△AOB=S_梯形AEFB+S_△AOE-S_△BOF=S_梯形AEFB=

1

2

（1+

3

）（

3

-1）=1．

（3）∵雙曲線與⊙O僅有兩個交點，OP=OQ=2，
∴雙曲線與⊙O的兩個交點為P（

2

，

2

），Q（-

2

，-

2

），
把（

2

，

2

）代入y=

k

x

得k=2．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題，應用的知識點是勾股定理、待定系數法，三角形面積的求法等，