Question

如圖，點(diǎn)A是半徑為2的⊙O與雙曲線y=

k

x

的一個(gè)交點(diǎn)，雙曲線與⊙O的四個(gè)交點(diǎn)A、B、C、D，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，a）．
（1）求k，a的值；
（2）求△AOB的面積；
（3）若雙曲線與⊙O僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理即可求得a的值，把A（1，

3

）代入雙曲線的解析式即可求得k；
（2）根據(jù)雙曲線的解析式和OB的長(zhǎng)即可求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)S_△AOB=S_梯形AEFB+S_△AOE-S_△BOF=S_梯形AEFB即可求得結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件可知雙曲線與⊙O的兩個(gè)交點(diǎn)為P（

2

，

2

），Q（-

2

，-

2

），代入代入y=

k

x

即可求得k的值；

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，a）．
∴1²+a²=2²，
解得a=

3

，
∴A（1，

3

），
代入y=

k

x

得

3

=

k

1

，
解得k=

3

，

（2）如圖，作AE⊥x軸，BF⊥x軸，設(shè)B（m，

3

m

），
∴OB²=m²+（

3

m

）²，
∴m⁴-4m²+3=0，
解得m=

3

或m=1，
∴B的坐標(biāo)為（

3

，1），
∴AE=

3

，BF=1，EF=

3

-1，
∴S_△AOB=S_梯形AEFB+S_△AOE-S_△BOF=S_梯形AEFB=

1

2

（1+

3

）（

3

-1）=1．

（3）∵雙曲線與⊙O僅有兩個(gè)交點(diǎn)，OP=OQ=2，
∴雙曲線與⊙O的兩個(gè)交點(diǎn)為P（

2

，

2

），Q（-

2

，-

2

），
把（

2

，

2

）代入y=

k

x

得k=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、待定系數(shù)法，三角形面積的求法等，