Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、G分別在BC、AB邊上，AD與CG相交H，如果DA=DB，GB=GC，AD平分∠BAC，那么下列三角形中不與△ABC相似的是

1. A.
   △ABD
2. B.
   △ACD
3. C.
   △AGH
4. D.
   △CDH

Answer 1

A
分析：由DA=DB，GB=GC，利用等邊對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，再根據(jù)AD為角平分線，得到一對(duì)角相等，等量代換可得∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，由∠CAD=∠B，加上一對(duì)公共角相等可得△ACD∽△BCA；由∠AHG為三角形ACH的外角，利用外角性質(zhì)得到∠AHG=∠ACH+∠DAC，由∠ACD=∠ACH+∠GCB，可得出∠AHG=∠ACD，再由∠BAD=∠B，可得△AHG∽△ACB；由對(duì)頂角相等可得∠CHD=∠AHG，再由∠AHG=∠ACD等量代換可得∠CHD與∠ACD相等，再加上∠B=∠GCB，可得出△CDH∽△BAC；而三角形ABD與三角形ABC不滿足相似的條件，進(jìn)而確定出正確的選項(xiàng)．
解答：∵DA=DB，GB=GC，
∴∠BAD=∠B，∠B=∠GCB，
又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠B=∠GCB=∠CAD，
∴∠CAD=∠B，又∠ACD=∠CBA（公共角），
∴△ACD∽△BCA；
∵∠AHG為△DHC的外角，
∴∠AHG=∠ACH+∠DAC，
又∠ACD=∠ACH+∠GCB，且∠DAC=∠GCB，
∴∠AHG=∠ACD，又∠BAD=∠B，
∴△AHG∽△ACB；
∵∠CHD=∠AHG（對(duì)頂角相等），且∠AHG=∠ACD，
∴∠CHD=∠ACD，又∠B=∠GCB，
∴△CDH∽△BAC；
而∠B=∠B，∠BAD不等于∠ACB，則△ABD不相似△ABC，
則題中△ACD∽△BCA；△AHG∽△ACB；△CDH∽△BAC．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的數(shù)學(xué)思想，其中相似三角形的判定方法為：兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似．