Question

如圖，在⊙O中，M是弦AB定的中點，過點B作⊙O的切線，與OM延長線交于點C．
（1）求證：∠A=∠C；
（2）若OA=5，AB=8，求線段OC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中點，利用等腰三角形三線合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而BC是切線可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；
（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易證△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=AB=4，根據勾股定理可求OM，進而可求OC．
解答：如右圖所示，
（1）證明：連接OB，
∵BC是切線，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M是AB的中點，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C；

（2）解：∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，
∴△OMB∽△OBC，
∴，
又∵BM=AB=4，
∴OM==3，
∴OC=．
點評：本題考查了切線的性質、等腰三角形三線合一定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理．解題的關鍵是連接OB，構造直角三角形．