Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D為x軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0），過(guò)點(diǎn)D的直線
l⊥x軸，點(diǎn)A為直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OA，OB⊥OA交直線l于點(diǎn)B，則$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{O{B^2}}}$的值為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理得出OA²+OB²=AB²，再用得出OD×AB=OA×OB，最后通分所求式子再代換即可得出結(jié)論．

解答 解：∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∴OA²+OB²=AB²，
∵OD⊥AB，
∴OD×AB=OA×OB，
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0），
∴OD=4，
∴$\frac{1}{{O{A^2}}}+\frac{1}{{O{B^2}}}$=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}}{（OA×OB）^{2}}$=$\frac{A{B}^{2}}{（OD×AB）^{2}}$=$\frac{1}{O{D}^{2}}$=$\frac{1}{16}$．
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是直角三角形的性質(zhì)，主要考查了勾股定理，直角三角形的面積公式，分式的計(jì)算，利用面積和勾股定理得出OD×AB=OA×OB和OA²+OB²=AB²，是解本題的關(guān)鍵．