如圖,在△ABC中,ABAC=10cm,BC=12cm,點(diǎn)DBC邊的中點(diǎn).點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以acm/s(a>0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā),沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;

(2)設(shè)點(diǎn)MAC上,四邊形PQCM為平行四邊形.

①若a,求PQ的長(zhǎng);

②是否存在實(shí)數(shù)a,使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的性質(zhì).

【專題】幾何綜合題.

【分析】(1)由△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中點(diǎn),根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),即可求得BD與CD的長(zhǎng),又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得t的值;

(2)①首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E,由四邊形PQCM為平行四邊形,易證得PB=PQ,又由平行線分線段成比例定理,即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,解此方程即可求得答案;

②首先假設(shè)存在點(diǎn)P在∠ACB的平分線上,由四邊形PQCM為平行四邊形,可得四邊形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程組,解此方程組求得t值為負(fù),故可得不存在.

【解答】解:(1)△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中點(diǎn),

∴BD=CD=1 2 BC=6cm,

∵a=2,

∴BP=2tcm,DQ=tcm,

∴BQ=BD-QD=6-t(cm),

∵△BPQ∽△BDA,

∴BP BD =BQ AB ,

即2t 6 =6-t 10 ,

解得:t=18 13 ;

(2)①過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E,

∵四邊形PQCM為平行四邊形,

∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,

∴PB:AB=CM:AC,

∵AB=AC,

∴PB=CM,

∴PB=PQ,

∴BE=1 2 BQ=1 2 (6-t)cm,

∵a=5 2 ,

∴PB=5 2 tcm,

∵AD⊥BC,

∴PE∥AD,

∴PB:AB=BE:BD,

即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,

解得:t=3 2 ,

∴PQ=PB=5 2 t=15 4 (cm);

②不存在.理由如下:

∵四邊形PQCM為平行四邊形,

∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,

∴PB:AB=CM:AC,

∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.

若點(diǎn)P在∠ACB的平分線上,則∠PCQ=∠PCM,

∵PM∥CQ,

∴∠PCQ=∠CPM,

∴∠CPM=∠PCM,

∴PM=CM,

∴四邊形PQCM是菱形,

∴PQ=CQ,

∴PB=CQ,

∵PB=atcm,CQ=BD+QD=6+t(cm),

∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-PB=10-at(cm),

即at=6+t①,

∵PM∥CQ,

∴PM:BC=AP:AB,

∴6+t 12 =10-at 10 ,

化簡(jiǎn)得:6at+5t=30②,

把①代入②得,t=-6 11 ,

∴不存在實(shí)數(shù)a,使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).此題難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

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( 。
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1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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16
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