Question

14．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）連接DE，交AC于點F，請判斷四邊形ABDE的形狀，并證明；
（3）線段DF與AB有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可證得：四邊形ADCE為矩形；
（2）利用（1）中矩形的對角線相等推知：AC=DE；結(jié)合已知條件可以推知AB∥DE，又AE=BD，則易判定四邊形ABDE是平行四邊形；
（3）由四邊形ADCE為矩形，可得AF=CF，又由AD是BC邊的中線，即可得DF是△ABC的中位線，則可得DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°，
∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形；

（2）四邊形ABDE是平行四邊形，理由如下：
證明：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，則AE=CD，AC=DE．
又∵AB=AC，BD=CD，
∴AB=DE，AE=BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形；

（3）DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．理由：
解：∵四邊形ADCE為矩形，
∴AF=CF，
∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位線，
∴DF∥AB，DF=$\frac{1}{2}$AB．

點評 此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、三線合一以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．