Question

如圖，已知P是等邊△ABC的BC邊上任意一點，過P點分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D．問：△AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關系？

Answer 1

考點：等邊三角形的性質,含30度角的直角三角形

專題：

分析：△AED的周長與四邊形EBCD的周長相等．由于DE是△AED與四邊形EBCD的公共邊，所以只需證明AD+AE=BE+BC+CD．

解答：解：△AED的周長與四邊形EBCD的周長相等．理由如下：
在等邊△ABC中，∠B=∠C=60°，
∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，
∴∠BPE=∠CPD=30°．
不妨設等邊△ABC的邊長為1，BE=x，CD=y，那么BP=2x，PC=2y，
∵2x+2y=1，
∴x+y=

1

2

，
∵AE=1-x，AD=1-y，
∴AE+AD=2-（x+y）=

3

2

，
又∵BE+CD+BC=（x+y）+1=

3

2

，
∴AD+AE=BE+BC+CD，
∴AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE，
即△AED的周長與四邊形EBCD的周長相等．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，三角形、四邊形的周長，難度適中．設出輔助未知數，運用整體思想是解題的關鍵．