Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－3，0)、(0，4)，拋物線y＝x²＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x＝上．

(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，連接BD，已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)在(2)、(3)的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題。

分析：

(1)根據(jù)拋物線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，4)，以及頂點(diǎn)在直線x＝上，得出b，c即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)，利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x＝5或2時(shí)，y的值即可．

(3)首先設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，求出解析式，當(dāng)x＝時(shí)，求出y即可；

(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出，得到ON＝，進(jìn)而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．

解答：

解：(1)∵拋物線y＝經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0，4)

∴c＝4，

∵頂點(diǎn)在直線x＝上，

∴；

∴所求函數(shù)關(guān)系式為；

(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，

∴AB＝，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，

∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(5，4)、(2，0)，

當(dāng)x＝5時(shí)，y＝，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

(3)設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，

設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，

則，

解得：，

∴，

當(dāng)x＝時(shí)，y＝，

∴P()，

(4)∵MN∥BD，

∴△OMN∽△OBD，

∴即得ON＝，

設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F，

則(PF＋OM)•OF＝(＋t)×，

∵，

()×＝，

S＝(－)，

＝－(0＜t＜4)，

S存在最大值．

由S＝－(t－)2＋，

∴當(dāng)S＝時(shí)，S取最大值是，

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，)．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及菱形性質(zhì)和待定系數(shù)法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數(shù)的最值求出是解題關(guān)鍵．