Question

如圖，反比例函數(shù)（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，OA=2，OC=4，連接OD、OE、DE．記△OAD、△OCE的面積分別為S₁、S₂．
（1）①點B坐標(biāo)為______；②S₁______S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；
（2）當(dāng)點D為線段AB的中點時，求k的值及點E坐標(biāo)；
（3）當(dāng)S₁+S₂=2時，試判斷△ODE的形狀，并求△ODE的面積．

Answer 1

解：（1）①根據(jù)長方形OABC中，OA=2，OC=4，
則點B坐標(biāo)為（4，2），
②∵反比例函數(shù)（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點，
利用△OAD、△OCE的面積分別為S₁=AD•AO，S₂=•CO•EC，xy=k，得出，
S₁=AD•AO=k，S₂=•CO•EC=k，
∴S₁=S₂；

（2）當(dāng)點D為AB中點時，AD=2，
∴D的坐標(biāo)是（2，2），
把D（2，2）代入y=得：
k=2×2=4，
∴y=．
∵點B坐標(biāo)為（4，2），
∴E點橫坐標(biāo)為：4，
∴4×y=4，
∴y=1，
∴E點坐標(biāo)為：（4，1）；

（3）當(dāng)S₁+S₂=2時，∵S₁=S₂，
∴S₁=S₂=1，
∵S₁=AD•AO=AD×2=1，
∴AD=1，
∵S₂=•CO•EC=×4×EC=1，
∴EC=，
∵OA=2，OC=4，
∴BD=4-1=3，
BE=2-=，
∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，
DE²=DB²+BE²=9+=，
OE²=CO²+CE²=16+=，
∴DO²+DE²=OE²，
∴△ODE是直角三角形，
∵DO²=5，
∴DO=，
∵DE²=，
∴DE=，
∴△ODE的面積為：×DO×DE=××=．
分析：（1）根據(jù)OA=2，OC=4可直接得到點B坐標(biāo)；②根據(jù)反比例函k的意義可知S₁、S₂都等于|k|，即可得到答案；
（2）當(dāng)點D為AB中點時，AD=2，得出D的坐標(biāo)是（2，2），求出解析式即可；
（3）根據(jù)當(dāng)S₁+S₂=2時，由（1）得出S₁=S₂=1，進(jìn)而得出BD，BE的長，進(jìn)而得出DO²+DE²=OE²，△ODE是直角三角形，進(jìn)而得出三角形面積．
點評：此題主要考查了反比函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積求法，利用數(shù)形結(jié)合在一起，得出BD，EB長是分析解決問題的關(guān)鍵．