Question

3．如圖，拋物線y=-x²+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（b，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0； ②若a=-1，則b=3；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸 的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為6$\sqrt{2}$．其中正確的命題有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)所過(guò)象限，判斷出y的符號(hào)；
②根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，求出b的值；
③根據(jù)$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，得到x₁＜1＜x₂，從而得到Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y₁＞y₂；
④作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標(biāo)即可解答．

解答 解：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，當(dāng)a=-1時(shí)有$\frac{-1+b}{2}$=1，解得b=3，故本選項(xiàng)正確；
③∵x₁+x₂＞2，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，
又∵x₁-1＜1＜x₂-1，
∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，
∴y₁＞y₂，故本選項(xiàng)正確；
④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，
連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．
當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=-x²+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（-1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，-3）；
則DE=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$；D′E′=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（-3-4）^{2}}$=$\sqrt{58}$；
∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
正確的有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的對(duì)稱軸、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、軸對(duì)稱--最短路徑問(wèn)題等，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．